2026年高中数学竞赛辅导课程解题能力提升测评调研

本测评旨在评估您的数学竞赛解题能力，涵盖代数、几何、组合、数论等核心领域。请独立思考，在规定时间内完成所有题目。测评结果将用于课程辅导的个性化指导。祝您取得好成绩！

Q1:已知实数 a, b 满足 a² + b² = 1，则 a⁴ + b⁴ 的最小值为（）。

1/2

1/4

1/8

1/16

Q2:在平面直角坐标系中，点 P 到直线 x - y + 1 = 0 的距离等于到点 F(1, 0) 的距离。则点 P 的轨迹方程是（）。

y² = 4x

x² = 4y

y² = 2x

x² = 2y

Q3:若复数 z 满足 |z - i| ≤ 1，则 |z| 的最大值为（）。

√2

Q4:关于函数 f(x) = |sin x| + |cos x|，下列结论正确的有（）。

f(x) 的最小正周期是 π/2

f(x) 的值域是 [1, √2]

f(x) 在区间 (0, π/2) 上单调递增

f(x) 的图像关于直线 x = π/4 对称

Q5:设数列 {a_n} 满足 a₁ = 1，a_{n+1} = a_n + 1/√a_n (n ≥ 1)。则下列结论可能成立的有（）。

数列 {a_n} 有上界

数列 {a_n} 收敛

lim_{n→∞} (a_n / n^(2/3)) 存在且非零

lim_{n→∞} (a_n / n²) 存在且非零

Q6:已知正实数 x, y, z 满足 xyz = 1，则 (x+1)(y+1)(z+1) 的最小值为 ______。

填空1

Q7:从 1, 2, 3, …, 2026 中任取 4 个不同的数，使得其中任意两个数的和都不是 5 的倍数。这样的取法共有 ______ 种。

填空1

Q8:设多项式 P(x) = xⁿ + a_{n-1}x^{n-1} + … + a₁x + a₀ 的根都是正实数。证明：P(1) · P’’(1) ≥ n(n-1) · [P'(1)]²。

填空1

Q9:在四面体 ABCD 中，AB = CD = 5，AC = BD = 6，AD = BC = 7。则四面体 ABCD 的体积为（）。

√95

2√95

3√95

4√95

Q10:方程 x² + y² + z² = 2026 的正整数解 (x, y, z) 的个数为（）。（考虑顺序）

与2026模4的余数有关，需具体计算

无穷多

有限个，具体数目需分类

Q11:已知函数 f(x) 在实数域上可导，且满足 f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy 对所有实数 x, y 成立，且 f'(0) = 3。则 f(5) = ______。

填空1

Q12:将 1, 2, 3, …, 10 随机排成一圈，则相邻两数之和均为合数的概率为 ______。（结果用最简分数表示）

填空1

Q13:设 a, b, c 是三角形的三边长，且满足 a² + b² + c² = ab + bc + ca。则此三角形是（）。

等边三角形

直角三角形

等腰直角三角形

不能确定

Q14:关于丢番图方程 x² + y² = z⁴，下列叙述正确的有（）。

存在无穷多组正整数解 (x, y, z)

若 (x, y, z) 是一组本原解（即 gcd(x, y)=1），则 z 必为奇数

方程等价于寻找勾股数 (a, b, c) 使得 c 为完全平方数

不存在满足 x 和 y 均为奇数的正整数解

Q15:设 n 为正整数，且 2ⁿ + 1 能被 5 整除。则 n 的最小正整数值为 ______。

填空1

Q16:在凸四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O。已知 S△AOB = 4， S△BOC = 5， S△COD = 6。则 S△DOA 的面积为 ______。

填空1

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